[Calculus 微積分入門] 連鎖規則：廣義指數規則與三角複合函數微分 EP2.4
編輯製作： 蔡豐聲
出品團隊： 中國醫藥大學 醫療資訊學系 程式俱樂部
在學習多項式、乘積、除商以及基本三角函數的微分後，微積分最常見也最具威力的核心法則正是連鎖規則（Chain Rule）
面對如 $y = \sqrt{x^2+1}$、$y = \sin(6x)$ 或 $y = (3x+2)^5$ 這類「外層函數包著內層函數」的複合結構，若直接展開不僅耗時繁瑣，更難以推廣
📌 本篇學習重點
掌握連鎖規則原理：理解變率的鏈式相乘與「外微 $\times$ 內微」口訣
。 廣義指數規則（General Power Rule）：熟練各類冪次複合函數的快速微分
。 高階代數化簡技能：熟練「提出公因式（最低次方）」的分式整理法
。 三角函數複合微分：釐清 $\sin(2x^2)$ 與 $\sin^2(2x)$ 的結構辨識與微分陷阱
。
一、 什麼是連鎖規則？變率的鏈式相乘
1. 變率的「齒輪傳動」概念
若變數 $y$ 隨著 $u$ 改變（變率為 $\frac{dy}{du}$），而 $u$ 同時隨著 $x$ 改變（變率為 $\frac{du}{dx}$），則 $y$ 對 $x$ 的瞬時變化率即為兩者的乘積
2. 定理：連鎖規則（Chain Rule）
假設 $y = f(u)$ 是 $u$ 的可微函數，且 $u = g(x)$ 是 $x$ 的可微函數，則合成函數 $y = f(g(x))$ 也是 $x$ 的可微函數，其導函數為$$\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$
💡 俄羅斯娃娃心法：微分時先對最外層函數微分（內部保持原樣不動），再乘上內部函數的微分（外微 $\times$ 內微）
3. 合成函數的拆解（一內一外）
在微分前，先清楚拆分出外層 $y = f(u)$ 與內層 $u = g(x)$
| 複合函數 y=f(g(x)) | 內層函數 u=g(x) | 外層函數 y=f(u) |
$y = \displaystyle\frac{1}{x+1}$ | $u = x + 1$ | $y = \displaystyle\frac{1}{u} = u^{-1}$ |
$y = \sin(2x)$ | $u = 2x$ | $y = \sin u$ |
$y = \sqrt{3x^2 - x + 1}$ | $u = 3x^2 - x + 1$ | $y = \sqrt{u} = u^{1/2}$ |
$y = \tan^2 x = (\tan x)^2$ | $u = \tan x$ | $y = u^2$ |
二、 廣義指數規則（General Power Rule）
當外層函數為冪次函數 $u^n$ 時，連鎖規則便轉化為最常用的廣義指數規則
若 $u=u(x)$ 是 $x$ 的可微函數，$n$ 為有理數，則
例題實戰：求 $f(x) = (3x - 2x^2)^3$ 的導函數
令內層 $u = 3x - 2x^2$，原式為 $u^3$
。 次方往前搬作係數、次方減 1，再乘上內部的微分
： $$f'(x) = 3(3x - 2x^2)^2 \cdot \frac{d}{dx}[3x - 2x^2] = 3(3x - 2x^2)^2(3 - 4x)$$
三、 高階代數化簡技巧：提出最低次方公因式
求導後的分式往往帶有負指數與分數次幂，以下為常見的化簡整理手法
技巧 1：乘積規則結合廣義指數
求 $f(x) = x^2 \sqrt{1 - x^2}$ 的導函數
改寫：$f(x) = x^2(1 - x^2)^{1/2}$
乘法律微分：
$$f'(x) = (x^2)'(1 - x^2)^{1/2} + x^2 \left[(1 - x^2)^{1/2}\right]'$$$$= 2x(1 - x^2)^{1/2} + x^2 \left[\frac{1}{2}(1 - x^2)^{-1/2}(-2x)\right]$$$$= 2x(1 - x^2)^{1/2} - x^3(1 - x^2)^{-1/2}$$提出公因式 $x(1 - x^2)^{-1/2}$
： $$= x(1 - x^2)^{-1/2} \left[2(1 - x^2) - x^2\right] = \frac{x(2 - 3x^2)}{\sqrt{1 - x^2}}$$
技巧 2：商規則結合連鎖律
求 $f(x) = \displaystyle\frac{x}{\sqrt[3]{x^2+4}} = \frac{x}{(x^2+4)^{1/3}}$ 的導函數
套用商規則
： $$f'(x) = \frac{(x^2+4)^{1/3}(1) - x \left[\frac{1}{3}(x^2+4)^{-2/3}(2x)\right]}{(x^2+4)^{2/3}}$$分子提出 $\frac{1}{3}(x^2+4)^{-2/3}$ 整理化簡
： $$= \frac{\frac{1}{3}(x^2+4)^{-2/3} [3(x^2+4) - 2x^2]}{(x^2+4)^{2/3}} = \frac{x^2+12}{3(x^2+4)^{4/3}}$$
四、 三角函數與連鎖規則
當三角函數的自變數為複合函數 $u(x)$ 時，連鎖規則導函數公式如下
典型實例：
$\displaystyle y = \sin(2x) \implies \frac{dy}{dx} = \cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = 2\cos(2x)$
$\displaystyle y = \cos(x - 1) \implies \frac{du}{dx} = -\sin(x - 1) \cdot \frac{d}{dx}(x-1) = -\sin(x - 1)$
$\displaystyle y = \tan(3x) \implies \frac{du}{dx} = \sec^2(3x) \cdot \frac{d}{dx}(3x) = 3\sec^2(3x)$
⚡ 動動腦時間：結構辨析與常見錯誤
判斷下列兩式微分是否正確
$(\sin 2x^2)' = (\cos 2x^2)(2x^2)' = 4x\cos(2x^2)$ ？
👉 【正確】：外層是 $\sin(u)$，內層角度是 $u = 2x^2$。先微正弦得 $\cos(2x^2)$，再微內層角度得 $4x$
。
$(\sin^2 2x)' = 2(\sin 2x)(2x)' = 4\sin 2x$ ？
👉 【錯誤】：$\sin^2 2x = (\sin 2x)^2$ 屬於三層複合結構（外層平方 $\to$ 中間正弦 $\to$ 最內層 $2x$）！
正確微分應依序剝三層皮：
$$(\sin^2 2x)' = 2(\sin 2x) \cdot \cos(2x) \cdot 2 = 4\sin(2x)\cos(2x) = 2\sin(4x)$$
五、 精選習題與是非題解析
1. 連鎖規則精選練習題
第 1 題：$y = \cos(4x)$
解析：$y' = -\sin(4x) \cdot (4x)' = -4\sin(4x)$。
第 2 題：$y = \sin(\pi x)^2 = \sin(\pi^2 x^2)$
解析：角度為 $u = \pi^2 x^2$，微角度得 $2\pi^2 x$。
答案：$y' = 2\pi^2 x \cos(\pi^2 x^2)$。
第 3 題：$y = 4\sec^2 x = 4(\sec x)^2$
解析：外層平方，內層 $\sec x$。
答案：$y' = 4 \cdot 2(\sec x) \cdot (\sec x)' = 8\sec^2 x \tan x$。
第 4 題：$g(t) = 5\cos^2(\pi t) = 5[\cos(\pi t)]^2$
解析：三層複合結構（平方 $\to \cos \to \pi t$）。
答案：$g'(t) = 5 \cdot 2[\cos(\pi t)] \cdot [-\sin(\pi t)] \cdot \pi = -10\pi \cos(\pi t)\sin(\pi t) = -5\pi \sin(2\pi t)$。
第 5 題：$f(\theta) = \frac{1}{4}\sin^2(2\theta)$
解析：$f'(\theta) = \frac{1}{4} \cdot 2[\sin(2\theta)] \cdot [\cos(2\theta)] \cdot 2 = \sin(2\theta)\cos(2\theta) = \frac{1}{2}\sin(4\theta)$。
2. 概念是非題
第 1 題：函數 $f(x) = \sin(ax)$ 在原點 $(0, 0)$ 的切線斜率為 $a$？
👉 【是（True）】
理由：$f'(x) = a\cos(ax)$，代入原點 $x = 0$ 得切線斜率 $m = f'(0) = a\cos(0) = a$。
第 2 題：函數 $f(x) = \cos(bx)$ 在原點 $(0, 1)$ 的切線斜率為 $-b$？
👉 【非（False）】
理由：$f'(x) = -b\sin(bx)$，代入原點 $x = 0$ 得切線斜率 $m = f'(0) = -b\sin(0) = 0$（在原點的切線為水平線，斜率為 0 而非 $-b$）！
🧠結語與小試身手
只要分清外層與內層，由外向內一層一層乘開，任何看似繁瑣的複合函數都能迎刃而解
課後挑戰題：
求下列函數的導函數：
$$f(t) = 3\sec\left( (\pi t - 1)^2 \right)$$