[Calculus 微積分入門] 以解析的方法處理極限：代入、約分、有理化與夾擠定理全攻略 EP1.3
編輯製作： 蔡豐聲
出品團隊： 中國醫藥大學 醫療資訊學系 程式俱樂部
YT： (a)基本極限與代數運算性質 https://youtu.be/syyvRrp0g2E
在上一篇中，我們學會了用「數值列表」與「觀察圖形」來估計極限
想要快、狠、準地求出極限，我們必須掌握解析方法（Analytical Methods）
📌 本篇學習重點
掌握極限的基本代數運算性質
。 搞懂何時可以直接代值（連續函數的特性）
。 掌握破解 $\frac{0}{0}$ 不定型的兩大神技：因式分解約分與分子有理化
。 理解重要理論：「兩函數除了一點外完全重合定理」與「夾擠定理（Squeeze Theorem）」
。
🧩 暖身回顧：函數的本質與連續性
在深入計算前，先釐清一個關鍵核心：
極限值 $\lim_{x \to c} f(x)$：探討的是 $x$ 無限靠近 $c$（但 $x \neq c$）時，$f(x)$ 的趨近趨勢
。 函數值 $f(c)$：探討的是 $x$ 正好等於 $c$ 當下的輸出值
。
通常這兩者沒有必然關係
我們就稱這個函數在 $x = c$ 處連續（Continuous）
一、 基本極限與代數運算性質
1. 最基本的三大極限定理
假設 $b, c$ 為實數，$n$ 為正整數
常數的極限就是常數：$\lim_{x \to c} b = b$
恆等函數：$\lim_{x \to c} x = c$
冪次函數：$\lim_{x \to c} x^n = c^n$
2. 極限的運算性質定理
若 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 且 $\lim_{x \to c} g(x) = K$ 皆存在，則
常數倍： $\lim_{x \to c} [b \cdot f(x)] = bL$
加減法： $\lim_{x \to c} [f(x) \pm g(x)] = L \pm K$
乘法： $\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot K$
除法： $\lim_{x \to c} \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{K}$ （條件：$K \neq 0$）
乘方： $\lim_{x \to c} [f(x)]^n = L^n$
3. 可以「無腦直接代入」的常見函數族群
以下函數在其合法定義域內，皆可直接代值求極限
多項式函數： $\lim_{x \to c} p(x) = p(c)$
例：$\lim_{x \to 2} (4x^2 + 3) = 4(2^2) + 3 = 19$
有理函數（分母代入不為 0 時）： $\displaystyle\lim_{x \to c} \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{p(c)}{q(c)}$（其中 $q(c) \neq 0$）
例：$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 2}{x + 1} = \frac{1 + 1 + 2}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 2$
根式函數： $\lim_{x \to c} \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{c}$（若 $n$ 為偶數則需 $c > 0$）
合成函數： $\lim_{x \to c} f(g(x)) = f(\lim_{x \to c} g(x))$
例：$\lim_{x \to 0} \sqrt{x^2 + 4} = \sqrt{0 + 4} = 2$
六大三角函數（在定義域內）： $\lim_{x \to c} \sin x = \sin c$、$\lim_{x \to c} \cos x = \cos c$ 等
。 例：$\lim_{x \to \pi} (x \cos x) = \pi \cos(\pi) = -\pi$
二、 遇到 $\frac{0}{0}$ 不定型怎麼辦？核心定理登場
當我們把 $x = c$ 代入分式，發現分子是 0、分母也是 0（稱為 $\frac{0}{0}$ 不定型）時，直接代入法宣告失效
此時解決問題的理論支柱是：
📖 定理：兩函數除了一點外完全重合若函數 $f(x)$ 與 $g(x)$ 在包含 $c$ 的開區間上，除 $x = c$ 以外的所有點皆滿足 $f(x) = g(x)$
白話來說：極限根本不在乎 $x = c$ 那一點發生什麼事，只要周圍完全一樣，它們的極限值就完全相同！
技巧 1：因式分解約分法（Factoring Technique）
當分子分母都是多項式且代入得 $\frac{0}{0}$ 時，代表分子分母必定都含有公因式 $(x - c)$，只要將其提出並約分即可
【例題】 求 $\displaystyle\lim_{x \to -3} \frac{x^2 + x - 6}{x + 3}$
代入檢驗： 分子 $(-3)^2 + (-3) - 6 = 0$，分母 $-3 + 3 = 0$（$\frac{0}{0}$ 型）
。 因式分解： 分子拆解為 $(x + 3)(x - 2)$
。 約分並套用定理： 當 $x \neq -3$ 時，
$$\frac{(x + 3)(x - 2)}{x + 3} = x - 2$$求極限：
$$\lim_{x \to -3} \frac{x^2 + x - 6}{x + 3} = \lim_{x \to -3} (x - 2) = -3 - 2 = -5$$
幾何意義上，$f(x)$ 就是直線 $y = x - 2$，只是在 $(-3, -5)$ 處被挖了一個空心洞
技巧 2：分子有理化法（Rationalizing Technique）
當式子中出現根號，代入後又呈現 $\frac{0}{0}$ 時，可利用乘法公式 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$，同乘共軛式將根號消除
【例題】 求 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$
代入檢驗： 分子 $\sqrt{1} - 1 = 0$，分母 $0$（$\frac{0}{0}$ 型）
。 分子分母同乘共軛式 $(\sqrt{x+1} + 1)$：
$$\frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+1} + 1}{\sqrt{x+1} + 1} = \frac{(x+1) - 1}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)}$$約去造成 0 的元凶 $x$：
$$= \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} \quad (x \neq 0)$$再次代入求極限：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} = \frac{1}{\sqrt{0+1} + 1} = \frac{1}{2}$$
三、 夾擠定理（Squeeze Theorem）
當函數太複雜、無法因式分解或有理化時（例如混雜了震盪的三角函數），我們可以用兩個已知極限的「上下界函數」將目標夾在中間
在包含 $c$ 的開區間內（$c$ 點本身除外亦可），若不等式恆成立
$$h(x) \le f(x) \le g(x)$$
且兩側函數在 $x \to c$ 時收斂到同一個極限 $L$：
$$\lim_{x \to c} h(x) = L = \lim_{x \to c} g(x)$$
則被夾在中間的 $f(x)$ 也別無選擇，極限必然存在且等於 $L$：
四、 實戰精選題詳解
習題 1：多項式約分
解析： 代入 $x = 4$ 得 $\frac{0}{0}$
。 分母平方差分解：$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$。 約去公因式 $(x - 4)$： $$\lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(x - 4)(x + 4)} = \lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 4} = \frac{1}{4 + 4} = \frac{1}{8}$$
習題 2：分子有理化
解析： 代入 $x = 4$ 得 $\displaystyle\frac{\sqrt{9}-3}{0} = \frac{0}{0}$
。 同乘共軛式 $(\sqrt{x+5} + 3)$： $$\frac{(\sqrt{x+5} - 3)(\sqrt{x+5} + 3)}{(x - 4)(\sqrt{x+5} + 3)} = \frac{(x+5) - 9}{(x - 4)(\sqrt{x+5} + 3)} = \frac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x+5} + 3)}$$約去 $(x - 4)$ 後代入：
$$\lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x+5} + 3} = \frac{1}{\sqrt{9} + 3} = \frac{1}{6}$$
習題 3：繁分式通分
解析： 代入 $x = 0$ 得 $\frac{0}{0}$
。 分子先通分：$\displaystyle\frac{3 - (3+x)}{3(3+x)} = \frac{-x}{3(3+x)}$。 整個式子除以 $x$： $$\frac{-x}{3(3+x) \cdot x} = \frac{-1}{3(3+x)}$$代入 $x = 0$：
$$\lim_{x \to 0} \frac{-1}{3(3+x)} = -\frac{1}{9}$$
習題 4：微積分導數前哨戰（差商極限）
解析：
展開分子：
$$(x + \Delta x)^2 - x^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - x^2 = \Delta x(2x + \Delta x)$$約去分母的 $\Delta x$：
$$\lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) = 2x + 0 = 2x$$(這就是我們後面章節會學到的：$x^2$ 的導函數是 $2x$！)
習題 5：夾擠定理證明題
題目： 證明若 $\lim_{x \to c} f(x) = 0$， 且對所有 $x \neq c$ 恆有 $\vert{}g(x)\vert{} \le M$（$M$ 為正固定常數），則 $$\lim_{x \to c} [f(x)g(x)] = 0$$
證明過程：
因為 $\vert{}g(x)\vert{} \le M$，兩邊同乘 $\vert{}f(x)\vert{} \ge 0$ 可得：
$$\vert{}f(x)g(x)\vert{} = \vert{}f(x)\vert{}\vert{}g(x)\vert{} \le M\vert{}f(x)\vert{}$$去絕對值展開成不等式：
$$-M\vert{}f(x)\vert{} \le f(x)g(x) \le M\vert{}f(x)\vert{}$$取兩端極限：
因為 $\lim_{x \to c} f(x) = 0$，所以 $\lim_{x \to c} \vert{}f(x)\vert{} = 0$。
左端極限：$\lim_{x \to c} (-M\vert{}f(x)\vert{}) = -M(0) = 0$。
右端極限：$\lim_{x \to c} (M\vert{}f(x)\vert{}) = M(0) = 0$。
根據夾擠定理，中間的極限必然成立：
$$\lim_{x \to c} [f(x)g(x)] = 0 \quad \blacksquare$$
🧠結語與小試身手
從「直觀猜測」跨越到「代數解析驗證」，你已經掌握了處理極限最核心的神兵利器
最後留一道思考題給大家：
若三次多項式 $f(x)$ 滿足：$$\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x - 1} = 1 \quad \text{且} \quad \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x - 2} = 3$$
你能求出這個多項式 $f(x)$ 是多少嗎？
【參考書目】Ron Larson, Bruce H. Edwards, Calculus, 11/e (Metric Version), Cengage Learning