[Calculus 微積分入門] 連續和單側極限：從一筆畫、單邊逼近到中間值定理與極值定理 EP1.4

編輯製作： 蔡豐聲

出品團隊：中國醫藥大學醫療資訊學系程式俱樂部

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在前面單元中，我們學會了如何使用代數與解析方法求極限

。但你是否想過：為什麼有些函數可以「直接把數字代入」，有些卻會出現斷裂或跳躍？這背後的關鍵概念正是微積分的核心骨架——「連續性（Continuity）」

！

本篇將帶你從直觀的「一筆畫」、單側極限的嚴格判定，一路走到微積分中最具實用價值的「中間值定理（IVT）」、數值勘根法、「極值定理（EVT）」！

📌 本篇學習重點

掌握「在一點連續」的三大充要條件。
釐清單側極限（左極限、右極限）與雙側極限存在的關係。
認識常見函數的連續性與合成函數連續性。
理解中間值定理（IVT）並學會二分法勘根應用。
理解極值定理（EVT）。

一、什麼是連續？從「一筆畫」到嚴格數學定義

直觀上，如果一個函數的圖形可以一筆畫到底，沒有斷裂、沒有孔洞、沒有跳躍，我們就稱它為連續函數。

1. 函數在某點 $x = c$ 不連續的三種典型情形

幾何上會出現斷點，必然觸犯了以下三個條件之一：

情形一： $f(c)$ 本身無定義（圖形直接出現空心洞）。
情形二： $\lim_{x \to c} f(x)$ 不存在（例如左逼近與右逼近高度不同，產生跳躍）。
情形三：極限存在、函數值也存在，但兩者不相等（ $\lim_{x \to c} f(x) \neq f(c)$ ，實心點被移到別處）。

2. 在一點連續的正式定義

函數 $f$ 在點 $c$ 連續（Continuous at $c$ ），必須同時滿足以下三件事：

$f(c)$ 有定義（此點有立足之地）。
$\lim_{x \to c} f(x)$ 存在（左右兩側目標趨勢一致）。
$\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ （目標趨勢恰好等於當下的函數值）。

若 $f$ 在開區間 $(a, b)$ 上的每個點都連續，則稱 $f$ 在 $(a, b)$ 上連續；若在整個實數線上都連續，則稱為處處連續（Everywhere Continuous）。

二、單側極限與極限存在的金科玉律

在討論閉區間端點（例如半圓 $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$ 在 $x = -2$ 只有右側有定義）或分段函數時，我們需要引入單側極限（One-sided Limit）：

右極限（從右方 $x > c$ 趨近）： $\lim_{x \to c^+} f(x) = L$
左極限（從左方 $x < c$ 趨近）： $\lim_{x \to c^-} f(x) = L$

⚖️ 定理：極限存在的充要條件

雙側極限 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 存在的 若且唯若（iff）條件為： 左極限與右極限都存在，且兩者數值完全相等！

$$\lim_{x \to c^-} f(x) = L = \lim_{x \to c^+} f(x)$$

🚀 進階延伸：單變數的「左極限 = 右極限」，搬到多維度（多變數）函數還成立嗎？

許多初學者學到這裡，會直覺地想：「那麼在二維平面或更高維度的函數 $f(x, y)$ 裡，是不是只要沿著幾條路徑逼近答案相同，極限就存在呢？」

👉 答案是：完全不成立！多維度函數的極限遠比單變數嚴苛與複雜得多。

1. 為什麼維度增加會讓「充要條件」失效？

單變數世界（一維直線）： 自變數 $x$ 只能在一維數線上移動，要靠近目標點 $c$ ，路徑只有兩種可能——從左邊來，或者從右邊來。因此只要封死這兩個方向，就能代表「所有可能的趨近路徑」。
多變數世界（二維平面 $\mathbb{R}^2$ 或更高維度）： 自變數 $(x, y)$ 逼近目標點 $(x_0, y_0)$ 時，是在平面上移動。你可以沿著水平線、垂直線、任何斜率的斜線，甚至是拋物線、三次曲線、螺旋線等「無限多條不同路徑」靠近！

⚠️ 關鍵結論：

多維度函數極限要存在，必須「沿著所有可以想像到的無限多條路徑趨近時，極限值都必須相同」。單純檢驗有限條路徑（例如左、右、上、下，甚至所有直線），只能證明「極限不存在」，永遠無法證明極限存在！

2. 經典打臉範例：直線逼近全相等，極限卻依然不存在！

考慮以下著名的二變數函數，探討當 $(x, y) \to (0, 0)$ 時的極限：

f(x, y) = \frac{x y^2}{x^2 + y^4}

第一步：沿著所有通過原點的直線 $x = m y$ 逼近

將 $x = m y$ 代入：

\lim_{y \to 0} \frac{(m y) y^2}{(m y)^2 + y^4} = \lim_{y \to 0} \frac{m y^3}{m^2 y^2 + y^4} = \lim_{y \to 0} \frac{m y}{m^2 + y^2} = \frac{0}{m^2} = 0 \quad (m \neq 0)

若沿水平軸或鉛直軸逼近，極限值也通通是 $0$ 。此時看似「不管從哪個直線角度逼近，極限全部都是 0」！

第二步：換一條拋物線路徑 $x = y^2$ 逼近

將 $x = y^2$ 代入：

\lim_{y \to 0} \frac{(y^2) y^2}{(y^2)^2 + y^4} = \lim_{y \to 0} \frac{y^4}{y^4 + y^4} = \lim_{y \to 0} \frac{y^4}{2y^4} = \frac{1}{2}

震撼結論：

沿所有直線逼近都得到 $0$ 。
沿拋物線逼近卻得到 $\frac{1}{2}$ ！
因為不同路徑的極限不相等，該點的雙變數極限 $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)$ 根本不存在！

三、連續函數的運算與四大基本類型

如果 $f$ 和 $g$ 在 $x = c$ 連續，那麼它們的純量乘倍 $bf$ 、加減 $f \pm g$ 、相乘 $f \cdot g$ 、相除 $f / g$ （分母 $g(c) \neq 0$ ）以及合成函數 $f(g(x))$ 也都在該點連續！

在各自合法的定義域內，以下四大基本函數皆處處連續：

多項式函數： $p(x) = a_n x^n + \dots + a_0$
有理函數： $r(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ （在 $q(x) \neq 0$ 處連續）
根式函數： $f(x) = \sqrt[n]{x}$
三角函數： $\sin x, \cos x, \tan x, \cot x, \sec x, \csc x$

💡 經典實例剖析：連續性的檢驗

為了深入理解函數在關鍵點的連續行為，我們檢驗以下三個極具代表性的函數，並描述它們各自在哪些區間連續：

三角正切函數： $f(x) = \tan x$
劇烈振盪函數： $g(x) = \begin{cases} \sin\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$
被振幅壓制的振盪函數： $h(x) = \begin{cases} x \sin\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$

(a) 函數 $f(x) = \tan x$ 的連續區間

定義域限制： 由於 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ ，分母 $\cos x = 0$ 的點皆無定義，即 $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ （ $n$ 為整數）。
連續性判定： 在無定義的點之外，正切函數是由連續的分子與分母相除組成，因此在其定義域內處處連續。
結論： $f(x)$ 在無限多個開區間上連續：
$\dots, \left(-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}\right), \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right), \dots$

(b) 函數 $g(x) = \begin{cases} \sin\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 是否連續？

當 $x \neq 0$ 時： 內層函數 $\frac{1}{x}$ 連續，外層函數 $\sin u$ 處處連續，根據合成函數連續性定理，在 $x \neq 0$ 處皆連續。
檢驗 $x = 0$ 處：
1. 函數值： $g(0) = 0$ （有定義）。
2. 極限值：當 $x \to 0$ 時， $\frac{1}{x} \to \pm\infty$ ，使得 $\sin\frac{1}{x}$ 在 $-1$ 與 $1$ 之間發生無限頻率的劇烈振盪，沒有單一趨近值，因此 $\lim_{x \to 0} g(x)$ 不存在！
結論： 由於極限不存在，第二個連續條件不成立，因此 $g(x)$ 在 $x = 0$ 處不連續。它的連續區間為 $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$ 。

(c) 函數 $h(x) = \begin{cases} x \sin\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 是否連續？

當 $x \neq 0$ 時： 為連續函數 $x$ 與連續函數 $\sin\frac{1}{x}$ 的乘積，故在所有 $x \neq 0$ 處皆連續。
檢驗 $x = 0$ 處（利用夾擠定理）：
1. 函數值： $h(0) = 0$ （有定義）。
2. 極限值：正弦函數的值域滿足 $-1 \le \sin\frac{1}{x} \le 1$ 。
  將不等式乘上 $\vert{}x\vert{}$ ，可得上下邊界被包夾：
  $-\vert{}x\vert{} \le x \sin\frac{1}{x} \le \vert{}x\vert{} \quad (x \neq 0)$
  
  因為 $\lim_{x \to 0} (-\vert{}x\vert{}) = 0$ 且 $\lim_{x \to 0} \vert{}x\vert{} = 0$ ，由夾擠定理（Squeeze Theorem）推得：
  $\lim_{x \to 0} h(x) = \lim_{x \to 0} \left(x \sin\frac{1}{x}\right) = 0$
3. 連續性比對： $\lim_{x \to 0} h(x) = 0 = h(0)$ ，極限值等於函數值！
結論： 乘上因子 $x$ 後，劇烈的振盪在靠近原點時被兩條漏斗狀直線 $y = \pm\vert{}x\vert{}$ 壓制收斂，因此 $h(x)$ 在整條實數線 $(-\infty, \infty)$ 上處處連續！

四、連續函數的超級武器：中間值定理（IVT）與極值定理（EVT）

在微積分中，連續函數在閉區間 $[a, b]$ 上具備兩大不可撼動的黃金性質：

中間值定理（IVT）： 保證數值的連續涵蓋，是「勘根法」（如二分法、牛頓法）的理論基石。
極值定理（EVT）： 保證最大值與最小值的存在，是後續微積分「最佳化問題（Optimization）」（如一階導數檢定、機器學習中的梯度下降法）的核心起點！

🌟 定理：中間值定理（Intermediate Value Theorem, IVT）

若函數

f

在閉區間 $[a, b]$ 上連續，且

f(a) \neq f(b)

。只要實數

k

介於

f(a)

與

f(b)

之間，則在區間

[a, b]

內至少存在一個數 $c$ ，使得：

f(c) = k

白話理解： 你從海拔 100 公尺一路不間斷走上海拔 500 公尺的山頂，中途必然會經過海拔 300 公尺的高度，不可能瞬間憑空跳過去！
幾何特性： IVT 是一個存在定理（Existence Theorem），它保證解的存在性（至少有一個，也可能有 3 個以上），但並不直接給出解的確切位置。

💡 IVT 最強應用：勘根與二分法（Bisection Method）

如果函數在閉區間 $[a, b]$ 上連續，且端點異號（ $f(a) \cdot f(b) < 0$ ），取中間值 $k = 0$ ，IVT 保證區間內必有實根（零點）使得 $f(c) = 0$ ！

二分法演算法步驟：

計算中點 $m = \frac{a+b}{2}$ 。
檢查 $f(m)$ 的正負號。
保留與中點異號的半個區間，重複二分，即可逼近到任意精度的數值解！

🌟 定理：極值定理（Extreme Value Theorem, EVT）

若函數

f

是一個在閉區間 $[a, b]$ 上的連續函數，則

f

在

[a, b]

上必定存在絕對極大值（Maximum），也必定存在絕對極小值（Minimum）

。
也就是說，區間內一定找得到兩點

c_1, c_2 \in [a, b]

，使得對區間內的所有

x

，恆滿足：

f(c_1) \le f(x) \le f(c_2)

⚠️ 極值定理不可或缺的「兩大前提」

極值定理是個非常強勢的存在定理，但以下兩個條件缺一不可：

條件一：必須是「閉區間 $[a, b]$ 」
- 反例： 考慮開區間 $(0, 1)$ 上的連續函數 $f(x) = x$ 。當 $x \to 0$ 時趨近 0、當 $x \to 1$ 時趨近 1，但在開區間內部永遠取不到最小值 0 與最大值 1！
條件二：函數必須「處處連續」
- 反例： 若函數中途發生跳躍或端點被挖空，函數值可能無限逼近某個高度卻永遠踩不到，導致極值不存在。

五、精選習題詳解

習題：分段函數求未知常數

求常數

a

，使分段函數在實數線上處處連續：

f(x) = \begin{cases} 3x^2, & x \ge 1 \\ ax - 4, & x < 1 \end{cases}

解析： 分段點在 $x = 1$ 。要使 $f(x)$ 連續，必須滿足左極限等於右極限且等於函數值：
1. 函數值與右極限： $\lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 3(1)^2 = 3$ 。
2. 左極限： $\lim_{x \to 1^-} f(x) = a(1) - 4 = a - 4$ 。
3. 連續條件： $a - 4 = 3 \implies a = 7$ 。

習題：雙未知數分段連續

求常數

a, b

，使函數處處連續：

f(x) = \begin{cases} 2, & x \le -1 \\ ax + b, & -1 < x < 3 \\ -2, & x \ge 3 \end{cases}

解析： 需要分別在 $x = -1$ 與 $x = 3$ 處保證左右極限一致：
1. 在 $x = -1$ 處：
  - 左極限： $\lim_{x \to -1^-} f(x) = 2$
  - 右極限： $\lim_{x \to -1^+} f(x) = a(-1) + b = -a + b$
  - 得到第 ① 式： $-a + b = 2$
2. 在 $x = 3$ 處：
  - 左極限： $\lim_{x \to 3^-} f(x) = a(3) + b = 3a + b$
  - 右極限： $\lim_{x \to 3^+} f(x) = -2$
  - 得到第 ② 式： $3a + b = -2$
3. 解聯立方程式：
  ② 式減 ① 式得 $4a = -4 \implies a = -1$ 。
  代回 ① 式得 $-(-1) + b = 2 \implies b = 1$ 。

習題：概念是非題剖析

第 1 題： 若 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 且 $f(c) = L$ ，則 $f$ 在 $c$ 點連續？
- 👉 【正確（True）】：同時滿足了極限存在、函數值存在、且兩者相等的完整連續定義。
第 2 題： 若 $f(x)$ 與 $g(x)$ 在 $x \neq c$ 時皆相等，但 $f(c) \neq g(c)$ ，則兩函數至少有一個在 $c$ 點不連續？
- 👉 【正確（True）】：若兩者皆在 $c$ 點連續，則 $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ 且 $\lim_{x \to c} g(x) = g(c)$ 。但因 $x \neq c$ 時函數相等，其極限必然相同（ $\lim f = \lim g$ ），推導出 $f(c) = g(c)$ ，與題設矛盾。因此必有至少一個不連續。
第 3 題： 中間值定理保證：當連續函數 $f$ 在 $[a, b]$ 區間中至少有一零點時， $f(a)$ 和 $f(b)$ 符號必相異？
- 👉 【非（False）】：中間值定理是充分條件而非必要條件。反例：拋物線 $f(x) = x^2$ 在區間 $[-1, 1]$ 上有零點 $x = 0$ ，但端點 $f(-1) = 1 > 0$ 且 $f(1) = 1 > 0$ ，兩端符號相同！

習題：如何使函數在 $x = 0$ 處被填補為連續？

給定 $f(x) = \frac{\sqrt{x+c^2}-c}{x}$ （其中 $c > 0$ ），求定義域並在 $x = 0$ 處給予合理定義使函數連續。

解析：
1. 定義域： 根號內 $x + c^2 \ge 0 \implies x \ge -c^2$ ；分母 $x \neq 0$ 。因此定義域為 $[-c^2, 0) \cup (0, \infty)$ 。
2. 在 $x = 0$ 處的極限值（分子有理化）：
  $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+c^2} - c}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(x+c^2) - c^2}{x(\sqrt{x+c^2} + c)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+c^2} + c)}$
  約分後代入 $x = 0$ ：
  $= \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+c^2} + c} = \frac{1}{\sqrt{c^2} + c} = \frac{1}{2c}$
3. 定義連續性： 為了讓 $f$ 在 $x = 0$ 連續，必須規定其函數值等於極限值，故定義：
  $f(0) = \frac{1}{2c}$

🧠結語與課後動動腦

搞懂了「連續」與「單側極限」，你就掌握了微積分順暢運算的通行證！當函數處處連續時，極限計算變得無比直觀；而當遇到跳躍或未定義點時，我們也有清晰的工具能抽絲剝繭。

思考挑戰：

試找出所有的實數

c

，使得分段函數處處連續：

f(x) = \begin{cases} 1 - x^2, & x \le c \\ x, & x > c \end{cases}

提示：這相當於解一元二次方程式 $1 - c^2 = c$ 。

【參考書目】Ron Larson, Bruce H. Edwards, Calculus, 11/e (Metric Version), Cengage Learning

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