中國醫藥大學蔡豐聲

編輯製作： 蔡豐聲  出品團隊 ： 中國醫藥大學 醫療資訊學系 程式俱樂部  YT：      在學習多項式、乘積、除商以及基本三角函數的微分後，微積分最常見也最具威力的核心法則正是 連鎖規則（Chain Rule） ！ 面對如 $y = \sqrt{x^2+1}$ 、 $y = \sin(6x)$ 或 $y = (3x+2)^5$ 這類「外層函數包著內層函數」的複合結構，若直接展開不僅耗時繁瑣，更難以推廣 。本篇將以「俄羅斯娃娃（外微乘內微）」直觀觀念切入，完整解析連鎖規則的定理、廣義指數規則與高階代數化簡技巧 ！ 📌 本篇學習重點 掌握連鎖規則原理 ：理解變率的鏈式相乘與「外微 $\times$ 內微」口訣 。 廣義指數規則（General Power Rule） ：熟練各類冪次複合函數的快速微分 。 高階代數化簡技能 ：熟練「提出公因式（最低次方）」的分式整理法 。 三角函數複合微分 ：釐清 $\sin(2x^2)$ 與 $\sin^2(2x)$ 的結構辨識與微分陷阱 。 一、 什麼是連鎖規則？變率的鏈式相乘 1. 變率的「齒輪傳動」概念 若變數 $y$ 隨著 $u$ 改變（變率為 $\frac{dy}{du}$ ），而 $u$ 同時隨著 $x$ 改變（變率為 $\frac{du}{dx}$ ），則 $y$ 對 $x$ 的瞬時變化率即為兩者的乘積 ： $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$ 2. 定理：連鎖規則（Chain Rule） 假設 $y = f(u)$ 是 $u$ 的可微函數，且 $u = g(x)$ 是 $x$ 的可微函數，則合成函數 $y = f(g(x))$ 也是 $x$ 的可微函數，其導函數為 ： $$\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$ 💡 俄羅斯娃娃心法 ：微分時先對最外層函數微分（內部保持原樣不動），再乘上內部函數的微分（外微 $\times$ 內微） 。 3. 合成函數的拆解（一內一外） 在微分前，先清楚拆分出外層 $y = f(u)$ 與內層 $u = g(x)$ ： 複...