中國醫藥大學蔡豐聲

編輯製作： 蔡豐聲  出品團隊 ： 中國醫藥大學 醫療資訊學系 程式俱樂部  YT：      在前面幾章，我們徹底掌握了極限的計算與函數的連續性 。現在，我們終於正式跨入微積分最偉大的兩大基石之一—— 「微分（Differentiation）」 ！ 你是否曾好奇過： 平滑曲線上某一點的「切線斜率」到底該怎麼算 ？ 物理上的「瞬時速度」與數學上的「導數」有何關聯 ？ 為什麼老師總說「可微一定連續，但連續不一定可微」 ？ 本篇將帶你從割線逼近切線的幾何直觀出發，推導出導數的極限定義，並破解考卷上最常見的分段可微陷阱題 ！ 📌 本篇學習重點 掌握切線斜率的幾何意義與導數的兩種極限形式 。 學會使用極限定義求導函數，並掌握「分子因式相消」的速解法 。 嚴格證明定理： 「可微必定連續」 。 剖析「連續卻不可微」的三大典型反例（尖點、折點、鉛直切線） 。 一、 導數的幾何直觀：從割線斜率逼近切線斜率 想要測量曲線 $y = f(x)$ 在固定點 $(c, f(c))$ 處的傾斜程度，我們無法直接拿「單一點」算斜率 。因此數學家採用了「兩點割線逼近」的思想 ： 在曲線上任取另一點 $(x, f(x))$ 。 兩點連線形成的割線斜率（平均變化率）為 ： $$m_{\text{sec}} = \frac{f(x) - f(c)}{x - c}$$ 讓 $x$ 沿著曲線無限趨近於 $c$ （即兩點間距趨於 0） 。此時割線會逐漸旋轉並貼合到通過 $(c, f(c))$ 的切線上 ！ x y c x (c, f(c)) (x, f(x)) Δx = x - c Δy = f(x) - f(c) 切線斜率 m 二、 導函數的兩種正式極限定義 根據逼近方式的不同，微積分提供了兩種等價的定義形式 ： 形式一：增量形式（適合推導導函數...