[Calculus 微積分入門] 導數與切線斜率：從割線極限、微分運算到「可微必連續」的深度解析 EP2.1
編輯製作： 蔡豐聲
出品團隊： 中國醫藥大學 醫療資訊學系 程式俱樂部
在前面幾章，我們徹底掌握了極限的計算與函數的連續性
你是否曾好奇過：
平滑曲線上某一點的「切線斜率」到底該怎麼算
？ 物理上的「瞬時速度」與數學上的「導數」有何關聯
？ 為什麼老師總說「可微一定連續，但連續不一定可微」
？
本篇將帶你從割線逼近切線的幾何直觀出發，推導出導數的極限定義，並破解考卷上最常見的分段可微陷阱題
📌 本篇學習重點
掌握切線斜率的幾何意義與導數的兩種極限形式
。 學會使用極限定義求導函數，並掌握「分子因式相消」的速解法
。 嚴格證明定理：「可微必定連續」
。 剖析「連續卻不可微」的三大典型反例（尖點、折點、鉛直切線）
。
一、 導數的幾何直觀：從割線斜率逼近切線斜率
想要測量曲線 $y = f(x)$ 在固定點 $(c, f(c))$ 處的傾斜程度，我們無法直接拿「單一點」算斜率
在曲線上任取另一點 $(x, f(x))$
。 兩點連線形成的割線斜率（平均變化率）為
： $$m_{\text{sec}} = \frac{f(x) - f(c)}{x - c}$$讓 $x$ 沿著曲線無限趨近於 $c$（即兩點間距趨於 0）
。此時割線會逐漸旋轉並貼合到通過 $(c, f(c))$ 的切線上 ！
二、 導函數的兩種正式極限定義
根據逼近方式的不同，微積分提供了兩種等價的定義形式
形式一：增量形式（適合推導導函數一般式）
令自變數增量為 $\Delta x$（即 $x$ 變為 $x + \Delta x$），則導數記作
常見符號表記： 除了 $f'(x)$ 之外，常用符號還包含 $y'$、$\frac{dy}{dx}$、$\frac{d}{dx}[f(x)]$ 以及 $D_x[y]$
。
- 列出差商極限：$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[(x + \Delta x)^3 + 2(x + \Delta x)] - (x^3 + 2x)}{\Delta x}$$
- 二項式展開：$$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^3 + 3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 + 2x + 2\Delta x - x^3 - 2x}{\Delta x}$$
- 約去造成 $\frac{0}{0}$ 的因子 $\Delta x$：$$= \lim_{\Delta x \to 0} [3x^2 + 3x(\Delta x) + (\Delta x)^2 + 2]$$
- 令 $\Delta x \to 0$ 代入得：$$f'(x) = 3x^2 + 2$$
形式二：固定點形式（適合檢驗單點可微性與證明）
若專注於單一點 $x = c$，定義可改寫為
此極限存在的前提是：左導數與右導數必須同時存在且數值相等
$$\lim_{x \to c^-} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} = \lim_{x \to c^+} \frac{f(x) - f(c)}{x - c}$$
⚡ 動動腦時間：高階有理分式的「秒殺代數技巧」
這裡給出兩道看似繁瑣、如果用微積分除法律會算到崩潰的高難度題目
【題目 1】 $f(x) = \displaystyle\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(x-5)}$，求 $f'(1) = ?$
常規思路陷阱： 對整個分式做除法微分法則 $(u/v)' = \displaystyle\frac{u'v - uv'}{v^2}$，算式長達半頁。
秒殺核心：利用導數的點極限定義！
因為分子包含 $(x-1)$ 因子，當代入 $x = 1$ 時，$f(1) = 0$。
直接套用導數定義：
$$f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(x-5)} - 0}{x - 1}$$直接約掉分母的 $(x - 1)$
： $$= \lim_{x \to 1} \frac{(x-2)(x-3)(x-4)}{x-5} = \frac{(1-2)(1-3)(1-4)}{1-5} = \frac{(-1)(-2)(-3)}{-4} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2}$$
【題目 2】 $f(x) = =\displaystyle\frac{(x-5)(x+2)^3(x+4)^2}{4(2x-1)^2(12-x)^3}$，求 $f'(5) = ?$
秒殺解析：
同樣注意到分子含有 $(x - 5)$，故 $f(5) = 0$。
$$f'(5) = \lim_{x \to 5} \frac{f(x) - 0}{x - 5} = \left. \frac{(x+2)^3(x+4)^2}{4(2x-1)^2(12-x)^3} \right\vert{}_{x = 5}$$直接將 $x = 5$ 代入剩餘部分：
$$= \frac{(7)^3 \cdot (9)^2}{4 \cdot (9)^2 \cdot (7)^3} = \frac{1}{4}$$(利用導數定義，省下長達 10 分鐘的複雜乘積除法微分！)
三、 微積分大定理：可微必定連續（Differentiability Implies Continuity）
許多初學者常常混淆「可微」與「連續」的包含關係，這裡給出最關鍵的定理：
若函數 $f$ 在 $x = c$ 處可微，則 $f$ 在 $x = c$ 處必然連續
📐 嚴格數學證明（極限代數法）
要證明 $f$ 在 $x = c$ 連續，等價於證明 $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$，也就是證明 $\lim_{x \to c} [f(x) - f(c)] = 0$
假設 $f$ 在 $c$ 點可微，即 $f'(c) = \lim_{x \to c} \displaystyle\frac{f(x) - f(c)}{x - c}$ 存在
。 將差值刻意構造出導數形式
： $$f(x) - f(c) = \left[ \frac{f(x) - f(c)}{x - c} \right] \cdot (x - c) \quad (x \neq c)$$兩邊取極限並套用極限乘法法則
： $$\lim_{x \to c} [f(x) - f(c)] = \lim_{x \to c} \left[ \frac{f(x) - f(c)}{x - c} \right] \cdot \lim_{x \to c} (x - c)$$$$= f'(c) \cdot 0 = 0$$由此推得 $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$，故 $f$ 在 $c$ 點保證連續！$\blacksquare$
⚠️ 連續不一定可微！三大不可微破綻
定理的逆命題「連續則必可微」是不成立的
尖點／轉折點（Corner / Cusp）：
範例：$f(x) = \vert{}x - 2\vert{}$ 在 $x = 2$ 連續
。 左導數：$\displaystyle\lim_{x \to 2^-} \frac{\vert{}x-2\vert{}-0}{x-2} = -1$
右導數：$\displaystyle\lim_{x \to 2^+} \frac{\vert{}x-2\vert{}-0}{x-2} = 1$
因左右導數不相等，故在 $x = 2$ 不可微
！
鉛直切線（Vertical Tangent）：
範例：$f(x) = x^{1/3}$ 在 $x = 0$ 處，割線斜率趨向 $\infty$，切線垂直於 $x$ 軸，斜率不存在。
無窮劇烈振盪（Discontinuity of Derivative）：
範例：$f(x) = x \sin(1/x)$ 在 $x = 0$ 連續但震盪過於頻繁導致微分極限不存在
。
四、 精選習題詳解
經典考題：求分段函數可微的未知數 $(a, b)$
題目： 若函數 $f(x) = \begin{cases} x^3 + 2x, & x \ge 1 \\ ax^2 - b, & x < 1 \end{cases}$ 在 $x = 1$ 處可微，求數對 $(a, b)$
解析步驟：
第一步【連續性保證】： 因為可微必連續，在 $x = 1$ 處左右極限必須相等
： $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1^3 + 2(1) = 3$$$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = a(1)^2 - b = a - b$$得出第 ① 式：$a - b = 3 \implies b = a - 3$
。 第二步【可微性保證（左右導數相等）】：
右導數：
$$\lim_{x \to 1^+} \frac{(x^3 + 2x) - 3}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x-1)(x^2+x+3)}{x-1} = 1^2+1+3 = 5$$左導數（將 $b = a - 3$ 代入）：
$$\lim_{x \to 1^-} \frac{(ax^2 - b) - 3}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{ax^2 - (a-3) - 3}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{a(x^2 - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} a(x+1) = 2a$$令左導數等於右導數：
$$2a = 5 \implies a = \frac{5}{2}$$
代回求 $b$：
$$b = \frac{5}{2} - 3 = -\frac{1}{2}$$答案： $(a, b) = \left(\frac{5}{2}, -\frac{1}{2}\right)$
題目：檢驗分段函數在 $x = 2$ 處是否可微？
解析步驟：
檢驗連續性：
$f(2) = 2^2 + 1 = 5$
右極限：$\lim_{x \to 2^+} (4x - 3) = 4(2) - 3 = 5$（連續）
檢驗左右導數：
左導數：$\lim_{x \to 2^-} \displaystyle\frac{(x^2+1) - 5}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} (x + 2) = 4$
右導數：$\lim_{x \to 2^+} \displaystyle\frac{(4x-3) - 5}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{4x - 8}{x - 2} = 4$
結論： 左右導數皆為 $4$ 且相等，因此函數在 $x = 2$ 處可微，且 $f'(2) = 4$。
題目：觀念是非題評析
1. 可微函數在點 $(2, f(2))$ 切線的斜率是 $\displaystyle\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}$？
👉 【非（False）】：這是「割線斜率」，必須加上極限符號 $\lim_{\Delta x \to 0}$ 才是真正的「切線斜率」
！
2. 若 $f$ 在一點連續，則在該點必可微？
👉 【非（False）】：反例為 $f(x) = \vert{}x\vert{}$ 在 $x = 0$ 處連續但不可微（尖點）
。
3. 若 $f$ 在一點有左導數也有右導數，則在該點必可微？
👉 【非（False）】：不僅要求左右導數都存在，兩者還必須數值相等才算可微
。
4. 若 $f$ 在一點可微，則在該點必連續？
👉 【是（True）】：此為定理「可微必連續」的直接陳述
。
經典考題：經典進階函數對比
證明：- $f(x) = \begin{cases} x \sin\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 連續但不可微。
- $g(x) = \begin{cases} x^2 \sin\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 可微，並求 $g'(0)$。
證明解析：
檢驗連續性（利用夾擠定理）：
函數值：依分段定義，$f(0) = 0$ 有定義
。 求極限值：對於任意 $x \neq 0$，正弦函數值域滿足 $-1 \le \sin\left(\frac{1}{x}\right) \le 1$
。 兩邊同乘以 $\vert{}x\vert{} > 0$，可得： $$-\vert{}x\vert{} \le x \sin\left(\frac{1}{x}\right) \le \vert{}x\vert{} \quad (x \neq 0)$$因為當 $x \to 0$ 時，兩端極限為：
$$\lim_{x \to 0} (-\vert{}x\vert{}) = 0 \quad \text{且} \quad \lim_{x \to 0} \vert{}x\vert{} = 0$$根據夾擠定理（Squeeze Theorem），中間項極限必然存在且為 0
： $$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left(x \sin\frac{1}{x}\right) = 0$$檢驗極限值是否等於函數值：
$$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$$因此，$f(x)$ 在 $x = 0$ 處連續
。
對 $f(x)$ 檢驗導數：
套用導數的極限定義
： $$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{x \sin(1/x) - 0}{x} = \lim_{x \to 0} \sin\frac{1}{x}$$因為當 $x \to 0$ 時，$\sin(1/x)$ 在 $[-1, 1]$ 之間無限振盪，極限不存在
，故 $f(x)$ 在 $x = 0$ 處不可微 。
二、 證明 $g(x)$ 在 $x = 0$ 處「可微」並求 $g'(0)$
對 $g(x)$ 檢驗導數，套用導數的極限定義
由夾擠定理（$-\vert{}x\vert{} \le x \sin(1/x) \le \vert{}x\vert{}$），當 $x \to 0$ 時極限為 $0$
🧠結語與小試身手
從「平均變化率」邁入「瞬時變化率」，導數為我們打開了研究物理運動、幾何切線與邊際效益的大門
課後挑戰題：
給定分段函數：【參考書目】Ron Larson, Bruce H. Edwards, Calculus, 11/e (Metric Version), Cengage Learning