[Calculus 微積分入門] 基本微分規則：指數、積商法則到六大三角函數全攻略 EP2.2
編輯製作： 蔡豐聲
出品團隊： 中國醫藥大學 醫療資訊學系 程式俱樂部
在上一單元中，我們透過割線逼近切線的極限定義求導數
雖然嚴謹，但若每次都要展開二項式或通分，計算量實在太過龐大
本篇將為大家建立微積分最核心的「微分武器庫」——掌握常數、冪次（指數）、乘積、除商與三角函數的微分規則
📌 本篇學習重點
五大代數基本微分法則：常數規則、指數（冪次）規則、常數倍規則、和差規則
。 高手必備：積的規則（乘法律） 與 商的規則（除法律） 的極限推導與記憶口訣
。 六大三角函數導函數全解析：利用極限定義與商法則完整推演
。 導數的物理意義與高階導數：從位置 $s(t)$、速度 $v(t)$ 到加速度 $a(t)$
。
一、 基本微分規則：打下基礎的四大金剛
在微分前，學會「將函數改寫為 $x^n$ 的形式」是關鍵的第一步
1. 常數規則（Constant Rule）
常數函數的圖形是一條水平直線，其切線斜率處處為 0
⚠️ 小心陷阱： 若 $y = \pi^2$，因為 $\pi^2 \approx 9.87$ 是一個常數（不含變數 $x$），因此 $\displaystyle\frac{dy}{dx} = 0$（不是 $2\pi$）
2. 指數規則／冪法則（Power Rule）
若 $n$ 為任意有理數
口訣：次方往前搬作係數，次方自己減 1
常見改寫微分實戰
： $f(x) = x^3 \implies f'(x) = 3x^2$
$g(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3} \implies g'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$
$y = \displaystyle\frac{1}{x^2} = x^{-2} \implies \frac{dy}{dx} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$
3. 常數倍規則與和差規則
微積分是一種「線性運算」，常數倍可以提到外面，加減可以分開個別微分
倍數規則： $\displaystyle\frac{d}{dx}[c \cdot f(x)] = c \cdot f'(x)$
和差規則： $\displaystyle\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)$
- 先拆開除法改寫：$y = 3x - 1 + x^{-1}$
- 逐項微分：$y' = 3 - 0 + (-1)x^{-2} = 3 - \displaystyle\frac{1}{x^2} = \frac{3x^2 - 1}{x^2}$
二、 進階法則：乘積規則與商規則
很多初學者常犯的致命錯誤就是以為「相乘的微分等於微分相乘」，這是完全錯誤的
1. 積的規則（Product Rule）
兩個可微函數相乘的導函數為
記憶口訣：「前微後不微，加上前不微後微」
三個函數相乘推廣：
$$\frac{d}{dx}[f \cdot g \cdot h] = f'gh + fg'h + fgh'$$
依定義：$(fg)' = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}$
分子中間巧妙地加一項、減一項 $f(x)g(x+h)$
$$= \lim_{h \to 0} \left[ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \cdot g(x+h) + f(x) \cdot \frac{g(x+h) - g(x)}{h} \right]$$
因為 $g$ 可微必連續，$\lim_{h \to 0} g(x+h) = g(x)$，直接得出 $f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
2. 商的規則（Quotient Rule）
當分母 $g(x) \neq 0$ 時
記憶口訣：「分母平方放底下；分母不動分子微，減去分子不動分母微」（上微下不微 $-$ 上不微下微）
$$y' = \frac{(x^2 + 1)(5x - 2)' - (5x - 2)(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{(x^2 + 1)(5) - (5x - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$$
$$= \frac{5x^2 + 5 - (10x^2 - 4x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-5x^2 + 4x + 5}{(x^2 + 1)^2}$$
三、 六大三角函數的導函數全集
三角函數在微分後具備優美的對稱與循環特性
| 函數 f(x) | 導函數 f′(x) PDF | 推導技巧與記憶法 PDF |
| $\sin x$ | $\cos x$ | 核心極限：$\displaystyle\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | 餘角關係 $\displaystyle\sin(\frac{\pi}{2}-x)$ 微分 |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ | 將 $\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}$ 用商規則展開 |
| $\cot x$ | $-\csc^2 x$ | 將 $\displaystyle\frac{\cos x}{\sin x}$ 用商規則展開 |
| $\sec x$ | $\sec x \tan x$ | 將 $\displaystyle\frac{1}{\cos x}$ 用商規則展開 |
| $\csc x$ | $-\csc x \cot x$ | 將 $\displaystyle\frac{1}{\sin x}$ 用商規則展開 |
💡 神級記憶心法： 凡是英文名字以 「c」開頭的三角函數（$\cos, \cot, \csc$），微分結果一律帶有負號「$-$」
四、 物理變率與高階導函數（Higher-Order Derivatives）
微分在物理學中代表「瞬時變化率」
位置函數 $s(t)$：代表物體在時刻 $t$ 的位置
。 一階導數（速度）：$v(t) = s'(t) = \displaystyle\frac{ds}{dt}$，位置對時間的變化率
。 二階導數（加速度）：$a(t) = v'(t) = s''(t) = \displaystyle\frac{d^2s}{dt^2}$，速度對時間的變化率
。
高階導數記號依序為：$y', y'', y''', y^{(4)}, \dots, y^{(n)}$
五、 精選習題詳解
1. 是非題重點剖析
第 1 題：若 $f'(x) = g'(x)$，則 $f(x) = g(x)$？
👉 【非（False）】：反例：$f(x) = x + 1$，$g(x) = x + 2$，兩者導函數皆為 $1$，但函數不相等（兩者僅差一個常數 $C$）
。
第 2 題：若 $y = x^{a+2} + bx$，則 $\displaystyle\frac{dy}{dx} = (a+2)x^{a+1} + b$？
👉 【是（True）】：標準套用冪次與常數倍規則
。
第 3 題：若 $y = \pi^2$，則 $\displaystyle\frac{dy}{dx} = 2\pi$？
👉 【非（False）】：$\pi^2$ 是常數，$\displaystyle\frac{dy}{dx} = 0$
。
2. 幾何切線條件題
求拋物線 $y = ax^2 + bx + c$ 通過 $(0, 1)$，並與直線 $y = x - 1$ 在點 $(1, 0)$ 相切
解析：
代入點 $(0, 1)$：$c = 1$
。 代入切點 $(1, 0)$：$a(1)^2 + b(1) + 1 = 0 \implies a + b = -1$
。 利用切線斜率： 直線 $y = x - 1$ 的斜率為 $1$
。 拋物線導函數為 $y' = 2ax + b$ 。 在 $x = 1$ 處切線斜率相同：$2a(1) + b = 1 \implies 2a + b = 1$。 解聯立方程：
$(2a + b) - (a + b) = 1 - (-1) \implies a = 2$。
代入得 $b = -3$。
答案： 拋物線方程式為 $y = 2x^2 - 3x + 1$。
3. 分段函數處處可微
求 $a, b$ 使 $f(x) = \begin{cases} ax^3, & x \le 2 \\ x^2 + b, & x > 2 \end{cases}$ 到處可微
解析：
連續性條件（$x = 2$ 處極限相等）：
$a(2)^3 = 2^2 + b \implies 8a = 4 + b \implies b = 8a - 4$。
可微性條件（$x = 2$ 處左右導數相等）：
左邊導函數：$(ax^3)' = 3ax^2 \implies 3a(2)^2 = 12a$。
右邊導函數：$(x^2 + b)' = 2x \implies 2(2) = 4$。
令 $12a = 4 \implies a = \displaystyle\frac{1}{3}$。
求 $b$：
$b = 8\displaystyle\left(\frac{1}{3}\right) - 4 = \frac{8}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{4}{3}$。
答案： $a = \displaystyle\frac{1}{3},\; b = -\frac{4}{3}$。
4. 高階導數二項關係思考題
設 $f$ 與 $g$ 皆有二階導數，選出正確的公式
解析：
展開 (a) 的右式：
$$(fg' - f'g)' = (fg')' - (f'g)' = (f'g' + fg'') - (f''g + f'g') = fg'' - f''g$$右式恰好等於左式！因此 (a) 正確
。 檢驗 (b)：$$(fg)'' = ((fg)')' = (f'g + fg')' = f''g + 2f'g' + fg'' \neq fg'' + f''g$$（漏掉了中間的交叉項 $2f'g'$），故 (b) 錯誤。
🧠結語與小試身手
有了這套強大的「基本微分規則」，微積分的運算效率直接提升了十倍以上
課後挑戰題：
求下列函數的導函數
- $f(t) = t^2 \sin t$
- $y = \displaystyle\frac{\sec x}{x}$
- $y = 2x \sin x + x^2 \cos x$
【參考書目】Ron Larson, Bruce H. Edwards, Calculus, 11/e (Metric Version), Cengage Learning